ta có \(5\left(x^2+xy+y^2\right)=7\left(x+2y\right)\)

zì 5 , 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau . Nên

\(\hept{\begin{cases}x+2y=5m\\x^2+xy+y^2=7m\end{cases}m\inℤ}\)

từ \(x+2y=5m=>5m-2y=x.\)thay zô \(x^2+xy+y^2=7m\)zà rút gọn ta được

\(\left(5m-2y\right)^2+\left(5m-2y\right)y+y^2=7m\Leftrightarrow3y^2-15my+25m^2-7m=0\left(1\right)\)

=>\(3\left(y^2-5my\right)+25m^2-7m=0=>3\left(y-\frac{5m}{2}\right)^2-\frac{75m^2}{4}=7m-25m^2\)

=>\(3\left(y-\frac{5m}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\left(-25m^2+28m\right)\)

zì \(3\left(y-\frac{5m}{2}\right)^2\ge0\forall m,y\)

=>\(\frac{1}{4}\left(-25m^2+28m\right)\ge0\Leftrightarrow25m^2-28m\le0\Leftrightarrow m\left(m-\frac{28}{25}\right)\le0\Leftrightarrow0\le m\le\frac{28}{25}\)

mà \(m\inℤ\)nên \(m\in\left\{0,1\right\}\)

zới m=0 thay zô (1) ta được y=0. từ đó tính đc x=0

zới m =1 thây zô (1) ta được \(3y^2-15y+18=0=>y^2-5y+6=0=>\orbr{\begin{cases}y=2\\y=3\end{cases}}\)

zới y=2 , m=1 thì ta tính đc x=1

zới y=3 , m=1 thì ta tính đc x=-1

zậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0,0\right);\left(1,2\right)\left(-1,3\right)\right\}\)

\(x^2+x+xy-2y^2-y=5\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x+2xy-4y^2-2y=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2x+1\right)-\left(y^2+2y+1\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)\)\(-4y^2=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2-\left(y+1\right)^2+\left(x+y\right)^2-4y^2=10\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(x+1\right)^2-4y^2\right]+\left[\left(x+y\right)^2-\left(y+1\right)^2\right]=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-2y+1\right)+\left(x-1\right)\left(x+2y+1\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-2y+1+x-1\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(2x-2y\right)=10\)

\(\Leftrightarrow2\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=10\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5\)

Vì \(x,y>0\left(x,y\inℤ\right)\Rightarrow x+2y+1\inℤ^+\)

Mà \(\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5\)

Do đó \(\left(x-y\right)\inℤ^+\)

Vì \(x+2y+1\ge x-y>0\)(vì \(x;y\in Z^+\))

\(\Rightarrow\left(x+2y+1\right)\left(x-y\right)=5.1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2y+1=5\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+2y+1=5\\x=y+1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+1+2y+1=5\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y+2=5\\x=y+1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3y=3\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=y+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=1\\x=2\end{cases}}\)(thỏa mãn \(x,y\inℤ^+\))

Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)

Lưu ý : tớ ghi \(ℤ^+\)là chỉ số nguyên dương, ghi vào vở bạn nên ghi là "số nguyen dương" thôi.

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2-xy-x^2y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy\left(xy+1\right)\)

VT là 1 số chính phương mà vế phải là tích 2 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}xy=0\\xy+1=0\end{matrix}\right.\)

+ Với \(xy=0\Rightarrow\left(x+y\right)^2=x^2+y^2=0\Rightarrow x=y=0\)

+ Với \(xy+1=0\Rightarrow xy=-1\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1;y=-1\\x=-1;y=1\end{matrix}\right.\)

\(2y^2+x-2y+5=xy\)

\(\Leftrightarrow8y^2-4xy+4x-8y+20=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4y^2-4xy+x^2\right)-\left(x^2-4x+4\right)+\left(4y^2-8y+4\right)=-20\)

\(\Leftrightarrow\left(2y-x\right)^2-\left(x-2\right)^2+\left(2y-2\right)^2=-20\)

bn tự giải tiếp

Làm tiếp bài bạn ɱ√ρ︵ƤUɮĞツ『ღƤℓαէїŋʉɱ ₣їɾεツ』⁀ᶜᵘᵗᵉ

\(\left(2y-x\right)^2-\left(x-2\right)^2+\left(2y-2\right)^2=-20\)

\(\Leftrightarrow\left(2y-2x-2\right)\left(2y-2\right)+\left(2y-2\right)^2=-20\)

\(\Leftrightarrow\left(2y-2\right)\left(2y-2x-2+2y-2\right)=-20\)

\(\Leftrightarrow2\left(y-1\right)\left(4y-2x-4\right)=-20\)

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(2y-x-2\right)=-5\)

Đến đây đơn giản rồi